בגרות 3 יחידות לימוד מתמטיקה חורף 2020 - הסתברות וסטטיסטיקה

 מתוך שאלון בגרות 3 יחידות מתמטיקה חורף 2020 - שאלון ראשון שאלה 6

שאלה

מטילים פעם אחת שתי קוביות משחק הוגנות ומחשבים את סכום המספרים שהתקבלו בהטלה.
א. לפניך טבלת התוצאות האפשריות. כתוב בכל אחת מן המשבצות הריקות בטבלה את סכום המספרים שמתקבלים בהטלה.

ב. מהי ההסתברות שסכום המספרים הוא 2?
ג. מהי ההסתברות שסכום המספרים קטן מ- 4?
ד. מהי ההסתברות שסכום המספרים הוא זוגי? נמק.

פתרון

א. טבלת סכום המספרים המתקבלים בהטלה: (מסומנים בצבע כחול)

טבלת סכום המספרים המתקבלים בהטלה (מסומנים בצבע כחול)

ב. ההסתברות שסכום המספרים המתקבלים בהטלה היא 2:.
בטבלה 36 תוצאות אפשריות של הטלה בהסתברות זהה. מספר התוצאות 2 הוא אחד.
לכן ההסתברות לתוצאה 2 הוא 1/36.

ג. ההסתברות שסכום המספרים קטן מ- 4
ההסתברות שסכום המספרים קטן מ- 4, היא ההסתברות שסכום המספרים היא 2 או 3. ההסתברות לתוצאה 2 היא 1/36 כפי שחושב בסעיף א.
ההסתברות לתוצאה 3 היא 2/36 מאחר והתוצאה 3 מופיעה פעמיים מתוך 36 תוצאות אפשריות.
לכן הסתברות שסכום המספרים היא 2 או 3 היא: 1/36 +2/36 = 3/36 = 1/12.
 ההסתברות שסכום המספרים קטן מ- 4 היא 1/12.

ד. ההסתברות שסכום המספרים הוא זוגי
ההסתברות שסכום המספרים הוא זוגי שווה ל- 1/2 מאחר וחצי מתוצאות האפשריות המתקבלות הוא זוגי וחצי הוא אי זוגי, וההסתברות לקבל כל תוצאה הוא שווה.

בגרות 3 יחידות לימוד מתמטיקה חורף 2020 - טריגונומטריה

מתוך שאלון בגרות 3 יחידות מתמטיקה חורף 2020 - שאלון ראשון שאלה 5 

שאלה

ABC הוא משולש שווה שוקיים (AB = AC).
AE הוא גובה במשולש ABC ( ראה איור).

נתון: AB =ס"מ 11 , BC = ס"מ 16.
א. חשב את גודל הזוית ABC.
ב. חשב את אורך הגובה AE.
ג. חשב את שטח המשולש AEC.

ABC משולש שווה שוקיים (AB = AC) ,  AE הוא גובה

פתרון

א.
הגובה לבסיס במשולש שווה שוקיים חוצה אותו לכן BE = CE ,
ולכן BE = BC/2 = 16/2 = 8
BE = 8

זוית E ישרה לכן משולש ABE ישר זוית.


ב.
ABE משולש ישר זוית ולכן על פי משפט פיתגורס:


ג.
משולשים AEC, AEB חופפים מאחר ויש להם צלע משותפת AE, שניהם משולשים ישרי זוית מאחר ו- AE מאונך BC, וגם הצלעות BE = CE, כי אנך לבסיס במשולש שווה שוקיים חוצה אותו.
מכאן שטח משולש AEC שווה לשטח משולש ABE.

שטח משולש ABE:
AE = 7.55 - חישבנו בסעיף ב.
BE = 8 - חישבנו בסעיף א.
 

 שטח משולש ACE הוא 30.2 סמ"ר.

בגרות 3 יחידות לימוד מתמטיקה חורף 2020 - משוואת ישר במערכת צירים

מתוך שאלון בגרות 3 יחידות מתמטיקה חורף 2020 - שאלון ראשון שאלה 4

 שאלה

משולש ABC במערכת צירים

 

במשולש ABC הנקודה A נמצאת על ציר ה- y , והנקודה B נמצאת על ציר ה- x (ראה ציור).
משוואת הישר AB היא  y = -3x + 12 .

א. מצא את שיעורי הנקודות A, B.

שיפוע הישר BC הוא 0.75.
ב. מצא את משוואת הישר BC.

שיעור ה- x של הנקודה C הוא 8.
ג. מצא את שיעור y של הנקודה C.

פתרון

א. 
שיעורי נקודה A
נקודה A נמצאת על ציר y וגם על הישר AB, לכן היא מהווה חיתוך של הישר y = -3x + 12, והישר x= 0.
נציב ונקבל:
y = -3x +12 = -3*0 + 12 = 12
שיעור הנקודה A הוא (12 , 0).

שיעור נקודה B
נקודה B נמצאת על ציר x וגם על הישר AB, לכן היא מהווה חיתוך של הישר y = -3x + 12, והישר y= 0.
נציב ונקבל:

שיעור הנקודה B הוא (0 , 4).

ב.
משוואת הישר נתונה בנוסחה: y = ax +b כאשר a הוא שיפוע הישר.
נתון כי שיפוע הישר (העובר דרך BC) הוא a = 0.75.
בנוסף הישר עובר דרך נקודה B (4, 0).
לכן מתקיים השוויון:


משוואת הישר העובר דרך BC: 
y = 0.75x -3

ג.
נקודה C נמצאת על הישר BC ולכן מקיימת את המשוואה y = 0.75x -3.
 
שיעור y של הנקודה C הוא 3.

החוק השני של ניטון - כדור תלוי על חוט ונשען על קיר

שאלה

כדור אחיד מוצק במשקל  45.0 ק"ג בקוטר 32.0 ס"מ, נתמך על ידי קיר אנכי חלק וחוט דק בעל משקל זניח ואורך 30 ס"מ, כפי שמוצג באיור.

(א) צייר דיאגרמת גוף חופשי של הכדור ולהשתמש בה כדי למצוא את המתח בחוט.
(ב) חשב את הכוח שמפעיל הכדור על הקיר.

איור

פתרון

 

דיאגרמת גוף חופשי

 

m = 45 kg  - מסת הכדור

  - זוית בין חוט מחובר לכדור, לאנך.

N - כוח תגובה שמפעיל הקיר על הכדור.

g = 3.8 m/sec^2 קבוע גרביטציה. 

T - מתיחות בחוט. 

 

דיאגרמת גוף חופשי

המתיחות בחוט T מורכבת משני רכיבים:

  - רכיב בכיוון ציר אנכי.

  - רכיב בכיוון ציר אופקי.

 

משוואות שיווי משקל:

 

 

הזוית על פי הציור:

נציב במשוואות שיווי משקל:

 

משיכת שתי מסות על מישור משופע עם חיכוך

שאלה
אדם מוריד שתי תיבות, אחת על גבי השנייה, במורד הרמפה (מישור משופע) המוצגת באיור על ידי משיכת חבל המקביל לפני הרמפה. שתי התיבות נעות יחד בקביעות במהירות 15 ס"מ לשניה,  מקדם החיכוך הקינטי בין
הרמפה והתיבה התחתונה הוא 0.444, ומקדם החיכוך הסטטי בין שתי התיבות הוא 0.800.

אדם מוריד שתי תיבות, אחת על גבי השנייה, במורד רמפה

 

(א) איזה כוח צריך להפעיל כדי להוריד התיבות?
(ב) מה גודל והכיוון של כוח החיכוך בתיבה העליונה?


פתרון

נחשב את ערכי הנעלמים במשוואות (1)

החוק השני של ניוטון - כוח מושך שני ארגזים מחוברים בחבל על משטח עם חיכוך

שאלה

שני ארגזים מחוברים באמצעות חבל מונחים על משטח אופקי (ראה איור). לארגז A מסה m_A ולארגז B מסה m_B.

מקדם החיכוך דינמי בין כל ארגז למשטח הוא _Kµ.

הארגזים נמשכים ימינה על ידי כוח אופקי .

קבע באמצעות m_A, m_{B, K}µ את:

    א. גודל הכוח .

     ב. המתיחות בחבל  Tהמחבר את הארגזים.

פתרון

החוק השני של ניוטון - מסות תלויות על חבלים מחוברים לגלגלות

שאלה

לכל אחד מהבלוקים התלויים באיור משקל w. הגלגלות הן ללא חיכוך והחבלים בעלי משקל זניח.
חשב את המתח T כפונקציה של המשקל w לכל אחד מהסעיפים.
שרטט דיאגרמת גוף חופשי לכל אחד מהסעיפים.

פתרון
המתיחות בחבל בכל אחד מהמקרים היא T=w. הסיבה לכך כי החבל בכל אחד מהמקרים מושך את המסה   w ומחזיק אותה בשיווי משקל.

להלן דיאגרמות גוף חופשי: