שאלה פתורה בחקירת פונקציות - מתוך בגרות 5 יח' קיץ 2009

תשובה לסעיף א
משוואת הפונקציה המעריכית ממעלה שניה נתונה ע"י y = ax² + bx +c . צורתה של הפונקציה היא פרבולה.

כאשר a > 0 קודקוד הפרבולה הוא נקודת מינימום, וכאשר a > 0 קודקוד הפרבולה הוא נקודת מקסימום.

על מנת שהפרבולה לא תעבור מתחת לציר x נדרוש כאמור שהיא תהיה בעלת נקודת מינימום כלומר a >0.

בנוסף נדרש שהפרבולה לא תחתוך את ציר  x או תשיק לו בנקודת המינימום שהרי דרשנו שהיא לא תעבור מתחת לציר x.

כלומר נדרוש שלא יהיו לה שורשים כלל או שורש אחד: b²- 4ab ≤ 0

ולכן עבור הפונקציה : y = (m-1)x²- (2m – 2)x + 9- m

נציב:

עבור התנאי a > 0:

m – 1 >0

(2m -2)² -4(m-1)(9-m) ≤ 0

m > 1

   

 עבור התנאי
b²- 4ab ≤ 0

4m² – 8m +4 -4(-m² +10m -9) ≤ 0

4m² – 8m +4 + 4m² -40m +36 ≤ 0

8m² – 48m + 40 ≤ 0

m² – 6m + 5 ≤ 0

(m – 1)(m – 5) ≤ 0

מתקבלים האי שיויונים:

 1 ≤ m ≤ 5

m > 1

החיתוך ביניהם (פתרון סעיף א): 

 1 ≤ m ≤ 5

סעיף ב

נתונה סקיצה של פרבולה עם נקודת מקסימום y = ax² + bx +c שקודקודה מעל הישר y= 4