שאלה פתורה גיאומטריה - קטע אמצעים במשולש וטרפז

הוכחת סעיף א

EF קטע אמצעים בטרפז ABCD ומקביל ל - DC

מהקטע אמצעים אנחנו יודעים ש- AE=ED

לכן EG קטע אמצעים במשולש ADH כי הוא חוצה צלע אחת AD ומקביל לצלע השלישית DH (חלקי קטעים מקבילים)

נתון כי DH=10



לכן EG=5 -(קטע האמצעים EG במשולש ADH שווה למחצית הבסיס DH)



מ.ש.ל סעיף א



הוכחת סעיף ב



בונים בניית עזר אנך מנקודה B ל- DC בנקודה O.

במרובע ABOH כל הזויות ישרות ולכן הוא מלבן. שבו AB = HO נסמן שווה ל- x. (כלומר AB=HO=x)



מאחר והטרפז שווה שוקיים המשולשים ADH ו- BCO חופפים:

שיוויון השוקיים AD= BC, שיוויון צלעות המלבן AH = B, ושיוויון זויות DAH, CBO (הפרשי זויות זויות שוות מזויות שוות).



מהחפיפה נובע: DH = CO = 10

סכום שני בסיסי הטרפז: AB + CD = x +10 +x + 10 = 2x+20



אך גם סכום בסיסי הטרפז שווה לפעמיים קטע האמצעים EF או ל- 2*25 = 50



לכן: 2x +20 = 50



אורך בסיס קטן x= 15 : AB



ואורך בסיס גדול CD = 10+10 +15 = 35



מ.ש.ל סעיף ב