אי תלות לינארית של וקטורים אורתוגונליים

נניח A­₁ , .... A_r הם וקטורים שאינם אפסים ואורתוגונליים

כך ש: A_i · A_j= 0  אם i ≠ j. נניח כי c_{1, …} c_rסקלרים כך ש:

c₁A₁+…. c_rA_r = 0.

הראה ש: c_i  = 0.

הוכחה:

נתון כי :   c₁A₁ +….+ c_rA_r = 0

נכפיל את שני האגפים בוקטור A_i כלשהו ונקבל:

(c₁A₁+…+c_iA_i +...+ c_rA_r)· A_i = 0·A_i

c₁A₁ ·A_i +…+ c_iA_i· A_i +...+ c_rA_r·A_i = 0

עקב האורתוגונליות (A_i · A_j= 0) כל המכפלות מתאפסות מלבד האיבר ה- i ולכן:

c_iA_i·A_i = 0

אך A_i ≠ 0 – נתון, ולכן  > 0   A_i·A_i

לכן c_i = 0