מכפלה פנימית של וקטורים

הגדרות

נניח שני וקטורים u, v  מעל Rⁿ וסקלר k מעל Rⁿ  , כך ש:

u = (u₁, u₂, u₃, …. u_n)

v = (v₁, v₂, v₃, …. v_n)

המכפלה הפנימית של וקטורים u, v מוגדרת

u∙v =  (u₁∙v₁ + u₂∙v₂ + …. + u_n∙v_n)

משפט 1.2

 הוכח כי לכל וקטורים u, v, w  מעל Rⁿ  וכל סקלרk  מעל Rⁿ  מתקיים:

  א.    (u+v)∙w = u∙w + v∙w

  ב.    (ku)∙v = k(u∙v)

  ג.     u∙v = v∙u

  ד.    u∙u ≥0  ו- u∙u = 0  אם ורק אם u=0

משפט 1.2 (א)

לכל וקטורים u, v , w  מעל Rⁿ  מתקיים:

(u+v)∙w = u∙w + v∙w

(u+v)∙w = (u₁+v₁, u₂+v₂, …., u_n+v_n)∙(w₁ + w₂ +…. + w_n)

[(u₁+v₁)w₁+ (u₂+v₂)w₂ + ….+ (u_n+v_n)w_n]=

(u₁w₁+v₁w₁+ u₂w₂+v₂w₂ + ….+ u_nw_n+v_nw_n)=

(u₁w₁ +u₂w₂+ ….+ u_nw_n) + (v₁w₁ + v₂w₂+ ….+ v_nw_n)= u∙w + v∙w

משפט 1.2 (ב)

לכל וקטורים u, v  מעל Rⁿ  וכל סקלרk  מעל Rⁿ  מתקיים:

(ku)∙v = k(u∙v)

הוכחה:

(ku)∙v = [k(u₁, u₂, u₃, …. u_n)]∙v=

(ku₁, ku₂, ku₃, …. ku_n)∙(v₁, v₂, v₃, …. v_n)=

(ku₁v₁ + ku₂v₂+ ku₃v₃ + ….+ ku_nv_n)=

k(u₁v₁ + u₂v₂+ u₃v₃ + ….+ u_nv_n)= k(u∙v)

משפט 1.2 (ג)

לכל וקטורים u, v  מעל Rⁿ  מתקיים:

u∙v = v∙u

הוכחה:

u∙v = =  (u₁∙v₁+ u₂∙v₂ + …. + u_n∙v_n) =

(v₁∙u₁ + v₂∙u₂+ ….+ v_n∙u_n) = v∙u

משפט 1.2 (ד)

לכל וקטור u  מעל Rⁿ  מתקיים:

u∙u ≥0  ו- u∙u = 0  אם ורק אם u=0

הוכחה:

  א.    נוכיח תחילה שאם u∙u ≥0  ו- u∙u = 0  אזי u=0.

 

  ב.    נוכיח ההפך שאם u = 0 אזי u∙u ≥0  ו- u∙u = 0  .

u=0 => (u₁, u₂, u₃, …. u_n) = (0, 0, 0 … 0) =>

u₁ = 0 …. u_n=0  =>   u∙u ≥0  ו- u∙u = 0

הוכחנו ש:

 u∙u ≥0  ו- u∙u = 0  =>  u=0 וגם u∙u ≥0  ו- u∙u = 0  <=  u=0

ולכן:

u∙u ≥0  ו- u∙u = 0  <=>  u=0