מתמטיקה: משפט הטנגנסים

יום ראשון, 20 באפריל 2014

משפט הטנגנסים - בעיה פתורה

משולש

משפט הטנגנסים מציג יחס בין אורך צלעות המשולש לבין טנגנס הזוויות שבו.

עבור משולש ששתיים מצלעותיו הן $\ a, b$ והזוויות שמולן הן $\ \alpha, \beta$ בהתאמה, משפט הטנגנסים קובע כי מתקיים בו היחס הבא:

$\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}$ .

תרגיל

נתון משולש שצלעותיו הן 40 ס"מ ו20 ס"מ והזווית ביניהן היא

יש להתיר את המשולש

פתרון:
לפי משפט הטנגנסים

LaTeX: a+b=40+20=60

$LaTeX: \alpha + \beta = 180- \gamma =180-80.5=99.5$
$LaTeX: \frac{\alpha + \beta }{2}=49.75^ \circ$

אם נחשב את $LaTeX: \frac{\alpha - \beta }{2}$ נוכל לחשב את שתי הזוויות ע"י פתרון מערכת שתי משוואות בשני נעלמים באלפא ובביתא

$LaTeX: \frac{a + b}{a - b}=\frac{40 + 20}{40 - 20}=3=\frac{tg(\frac{\alpha+\beta}{2})}{tg(\frac{\alpha-\beta}{2})}=\frac{tg49.75^ \circ}{tg(\frac{\alpha-\beta}{2})}$
$LaTeX: 3=\frac{1.1812}{tg(\frac{\alpha-\beta}{2})})$
$LaTeX: tg\frac{\alpha-\beta}{2}=0.3937$
$LaTeX: \frac{\alpha-\beta}{2}=21.5^\circ$
קיבלנו מערכת משוואות בשני נעלמים: $LaTeX: \frac{\alpha+\beta}{2}=49.75^\circ$
$LaTeX: \frac{\alpha-\beta}{2}=21.5^\circ$
$LaTeX: \alpha=71.25^\circ$
$LaTeX: \beta=28.25^\circ$

וכפי שנתון: $LaTeX: \gamma=80.5^\circ$

מה שנשאר זה לחשב את הצלע השלישית לפי משפט הסינוסים
$LaTeX: \frac{c}{sin80.5^\circ}=\frac{a}{sin \alpha}=\frac{40}{sin 71.25}$

LaTeX: c=41.66